Two Sigma 的 Quant Researcher（简称 QR）岗位，一直被称为“智商天花板”的岗位之一。它的筛选过程极其严格，我最近刚带学员做完一套 Two Sigma Quant Researcher OA ，这里详细复盘一下我遇到的真题和思考过程。整体感觉题目难度不低，考察的是概率推理、期望计算、数据结构设计和几何直觉，综合性非常强。
Part 1：在线测评真题回顾
Problem 1: Probability Decision Problem
Question:
You start with $1. In each round, you can either stop and take your current amount, or continue.
If you continue, with probability p your money doubles, and with probability (1 – p) you lose everything.
When should you continue?
Solution idea:
核心在于比较“继续玩”的期望收益和“停止”的确定收益。
假设当前资金为 x：
- 若停止 → 收益 = x
- 若继续 → 期望收益 = 2x p + 0 (1 − p) = 2px
因此，当 2p > 1（即 p > 0.5） 时，继续游戏的期望收益大于停止。
结论是：
- 若 p > 0.5，可以从期望值角度一直玩下去；
- 但实际上，若无限玩，最终破产概率仍然是 100%，这就引出了风险偏好和效用函数的问题。
- 若 p ≤ 0.5，则第一轮都不该开始。
这题非常经典，Two Sigma 就是爱这种既有数学推理又有风险意识的考察方式。
Problem 2: Expected Value of a Sequence
Question:
You have a biased coin with probability p of heads. You keep tossing until the pattern “HT” appears.
What’s the expected number of tosses?
Solution idea:
这题是状态期望法的经典题。我们定义：
- E = 从初始状态到出现 HT 的期望掷币次数
- E_H = 已经掷出一个 H 后到出现 HT 的期望次数
状态转移如下：
从初始状态：
E = (1 − p)(1 + E) + p (1 + E_H)
化简得：E = 1/p + E_H
从“已有 H”状态：
E_H = (1 − p) × 1 + p (1 + E_H)
化简得：E_H = 1/(1 − p)
代入可得：
E = 1/p + 1/(1 − p)
结果非常优美，也是 Two Sigma 一贯喜欢的那种“小题大理”的风格。
Problem 3: Median in a Dynamic Data Stream
Question:
Design a data structure that supports:
addNum(num)— add a numberfindMedian()— return the median of all elements
要求效率尽可能高。
Solution idea:
这题属于标准的算法题，但在 QR OA 里出现，意味着考察的不只是代码实现，还有逻辑思路。
最优解是使用 两个堆：
- max_heap 存较小的一半数字（堆顶是较大值）
- min_heap 存较大的一半数字（堆顶是较小值）
操作逻辑：
- 插入时先放入合适的堆，然后平衡两边大小，使两堆元素数之差不超过 1。
- 查找中位数时：
- 若两堆大小相等 → 返回两堆顶的平均值
- 若不等 → 返回元素更多那一边的堆顶值
Complexity:
addNum: O(log n)findMedian: O(1)
这题其实也考察你对“在线处理流数据”的敏感度，属于 QR 面中非常常见的思维题型。
Problem 4: Geometric Probability
Question:
A stick of length 1 is broken at two random points, forming three pieces.
What’s the probability that these three pieces can form a triangle?
Solution idea:
设两个断点位置为 x 和 y (假设 x < y)，则三段长度为：
a = x, b = y − x, c = 1 − y。
要形成三角形，必须满足：
a + b > c, a + c > b, b + c > a。
通过积分计算（或者几何面积法），最终结果为 1/4。
这题很有 Two Sigma 的风格——结合数学直觉和概率几何，考察逻辑严密性。
技术面试阶段复盘（45min/轮，2-3轮）
OA后进技术面，纯聊天式：概率+建模为主，无 whiteboard代码。面试官（PhD多）会深挖：
- “P动态更新（如贝叶斯后验），决策树怎么建？”（答：POMDP，价值迭代。）
- “HT变TH或’HH’，状态转移变吗？”（对称性分析，重叠罚。）
- “中位数加删除操作？”（用HashMap追踪计数，双堆调整。）
- “三角概率中，断点非均匀？”（Dirichlet分布，积分重算。）
Tips：别只报答案，边说边画状态图/几何。强调trade-off（如精确vs.近似）。行为面穿插：讲项目中概率应用（如A/B测试）。
总结
Two Sigma 的 QR OA 可以说是 “数学直觉 + 编程逻辑 + 思维严谨度” 的集中考察。
如果你准备参加类似的量化岗测试，强烈建议多练：
- 概率与期望类题
- 状态转移 + 方程组建模
- 动态数据结构维护问题
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