Two Sigma 的 Quant Researcher（簡稱 QR）崗位，一直被稱為「智商天花板」的職位之一。它的篩選過程極為嚴格，我最近剛帶學員做完一套 Two Sigma Quant Researcher OA ，這裡詳細複盤一下我遇到的真題和思考過程。整體感覺題目難度不低，檢視的是機率推理、期望計算、資料結構設計和幾何直覺，綜合性很強。
Part 1：線上評測真題回顧
Problem 1: Probability Decision Problem
Question:
You start with $1. In each round, you can either stop and take your current amount, or continue.
If you continue, with probability p your money doubles, and with probability (1 – p) you lose everything.
When should you continue?
Solution idea:
核心在於比較「繼續玩」的期望收益和「停止」的確定收益。
假設當前資金為 x：
- 若停止→ 收益= x
- 若繼續→ 期望收益= 2x p + 0 (1 − p) = 2px
因此，當 2p > 1（即 p > 0.5） 時，繼續遊戲的期望收益大於停止。
結論是：
- 若 p > 0.5，可以從期望值角度一直玩下去；
- 但實際上，若無限玩，最終破產機率仍然是 100%，這就引出了風險偏好和效用函數的問題。
- 若 p ≤ 0.5，則第一輪都不該開始。
這題非常經典，Two Sigma 是一種愛這種既有數學推理又有風險意識的考察方式。
Problem 2: Expected Value of a Sequence
Question:
You have a biased coin with probability p of heads. You keep tossing until the pattern “HT” appears.
What’s the expected number of tosses?
Solution idea:
這題是狀態期望法的經典題。我們定義：
- E = 從初始狀態到出現 HT 的期望擲幣次數
- E_H = 已經擲出一個 H 後到出現 HT 的期望次數
狀態轉移如下：
從初始狀態：
E = (1 − p)(1 + E) + p (1 + E_H)
化简得：E = 1/p + E_H
從「已有 H」狀態：
E_H = (1 − p) × 1 + p (1 + E_H)
化簡得：E_H = 1/(1 − p)
代入可得：
E = 1/p + 1/(1 − p)
結果非常優美，也是 Two Sigma 一貫喜歡的那種「小題大理」的風格。
Problem 3: Median in a Dynamic Data Stream
Question:
Design a data structure that supports:
addNum(num)— add a numberfindMedian()— return the median of all elements
要求效率盡可能高。
Solution idea:
這題屬於標準的演算法題，但在 QR OA 裡出現，意味著考察的不只是程式碼實現，還有邏輯思路。
最優解是使用 兩個堆：
- max_heap 存較小的一半數字（堆頂是較大值）
- min_heap 存較大的一半數字（堆頂是較小值）
操作邏輯：
- 插入時先放入適當的堆，然後平衡兩邊大小，使兩堆元素數差不超過 1。
- 查找中位數時：
- 若兩堆大小相等→ 傳回兩堆頂的平均值
- 若不等→ 傳回元素更多那一邊的堆頂值
Complexity:
addNum: O(log n)findMedian: O(1)
這題其實也檢視你對「線上處理流資料」的敏感度，屬於 QR 面中非常常見的思維題型。
Problem 4: Geometric Probability
Question:
A stick of length 1 is broken at two random points, forming three pieces.
What’s the probability that these three pieces can form a triangle?
Solution idea:
設兩斷點位置為 x 和 y (假設 x < y)，則三段長度為：
a = x, b = y − x, c = 1 − y。
要形成三角形，必須滿足：
a + b > c, a + c > b, b + c > a。
透過積分計算（或幾何面積法），最終結果為 1/4。
這題很有 Two Sigma 的風格──結合數學直覺和機率幾何，檢視邏輯嚴密性。
技術面試階段複盤（45min/輪，2-3 輪）
OA 後進技術面，純聊天式：機率+建模為主，無 whiteboard 程式碼。面試官（PhD 多）會深挖：
- 「P 動態更新（如貝葉斯後驗），決策樹怎麼建？」（答：POMDP，價值迭代。）
- 「HT 變 TH 或'HH'，狀態轉移變嗎？」（對稱性分析，重疊罰。）
- 「中位數加刪除操作？」（用 HashMap 追蹤計數，雙堆調整。）
- 「三角機率中，斷點非均勻？」（Dirichlet 分佈，積分重算。）
Tips：別只報答案，邊說邊畫狀態圖/幾何。強調 trade-off（如精確 vs.近似）。行為面穿插：講專案中機率應用（如 A/B 測試）。
總結
Two Sigma 的 QR OA 可以說是「數學直覺+ 程式邏輯+ 思維嚴謹度」 的集中考察。
如果你準備參加類似的量化崗位測試，強烈建議多練：
- 機率與期望類題
- 狀態轉移+ 方程組建模
- 動態資料結構維護問題
OA 助攻服務：專業全程守護，100%通過率直通 Two Sigma
還在 OA 卡殼，刷題效率低？ ProgramHelp OA 協助 專為量化崗服務－遠端安全協作，確保每題滿分通過！我們團隊有 Two Sigma/Jane Street 前 QR 導師（Stanford/MIT PhD），精通 HackerRank/Codesignal/Codility 平台。
為什麼選我們：即時語音/螢幕分享，涵蓋熱題全譜，無痕安全：加密聯機，面試官零察覺。不通過全退。學員回饋：“Two Sigma OA，本來期望題卡半小時，助攻 10min 解，技術面穩過，年包跳 50k！”
